Pole powierzchni
Z Wikipedii
Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) - miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.
Ścisła definicja wymaga wykonania pewnej konstrukcji.
Spis treści |
[edytuj] Konstrukcja pojęcia pola
[edytuj] I Definicja
Zobacz więcej w osobnych artykułach: Miara Jordana, Miara Lebesgue'a, Wymiar pudełkowy.
 |
Niektóre informacje zawarte w artykule wymagają weryfikacji. Do weryfikacji: definicja poniżej daje tylko zewnętrzną miarę Jordana; granica ta zawsze istnieje i nie w tym problem - problem w tym aby była równa mierze wewnętrznej |
Najczęściej spotykana definicja (i jedna z najogólniejszych) odwołuje się do następującej konstrukcji:
- Pokrywamy całą płaszczyznę, na której znajduje się dana figura, siatką przylegających kwadratów o bokach a1.
- Liczbę kwadratów mających choćby jeden punkt wspólny z figurą, której powierzchnię mierzymy, oznaczamy przez n1.
Tworząc rozmaite siatki kwadratów o coraz to mniejszych bokach 
, itd. uzyskujemy ciąg liczb n1,n2,....
Polem powierzchni nazywamy granicę:
Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, pola powierzchni nie da się obliczyć tą metodą.
Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę - choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie posiada podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować pole powierzchni: suma pól dwóch nie nachodzących na siebie figur może być większa niż pole figury powstałej z ich połączenia.
[edytuj] II Definicja
|
|
Niektóre informacje zawarte w artykule wymagają weryfikacji. Do weryfikacji: ja mogę być już całkiem druged, ale to co jest poniżej wydaje się być dość podejrzane |
Sposób ten jest nieco mniej abstrakcyjny od poprzedniego i jednocześnie może być używany do obliczania pól powierzchni w przestrzeni trójwymiarowej.
Algorytm obliczania pola S powierzchni σ:
- 1. Weźmy dowolna liczbę r>0.
- 2. Niech V(σ,r) będzie objetoscią sumy (NIE sumą objętości) wszystkich kul o środkach należących do powierzchni σ i promieniu r.
- 3. Jeżeli istnieje granica:
- to liczba S jest polem powierzchni σ.
[edytuj] Problem wyznaczania pól dla wszystkich figur
- Zbiory
-
są wymierne } oraz
jest niewymierny lub y jest niewymierny}
- są rozłączne i oba mają zewnętrzną miarę Jordana równą 1. Suma tych dwóch figur (czyli wnętrze kwadratu) ma pole równe 1, skąd możemy wnioskować że pola naszych figur nie można zdefiniować używając podejścia Jordana.
- Istnienie nietrywialnej funkcji, którą dałoby się zmierzyć dowolną figurę i która dla dowolnego ciągu przeliczalnego rozłącznych figur dawałaby wynik równy ich sumie jest niedowodliwe w standardowym systemie aksjomatów ZFC.
- Zbiór Vitalego i zbiór Bernsteina (istniejące przy założeniu aksjomatu wyboru) są niemierzalne w sensie Lebesgue'a.
- Prz założeniu aksjomatu wyboru istnieje skończenie addytywna miara mierząca wszystkie podzbiory przestrzeni.
- Przy założeniu AD, wszystkie podzbiory przestrzeni euklidesowych są mierzalne w sensie Lebesgue'a. * Jeśli istnieje liczba mierzalna, to jestr niesprzeczne że continuum jest rzeczywiście mierzalne i że istnieje miara na płaszczyźnie mierząca wszystkie jej podzbiory.
[edytuj] Definicja szkolna
Definicja używana w gimnazjach i szkołach średnich.
- Obieramy kwadrat o boku 1.
- Kwadrat ten zwany kwadratem jednostkowym jest jednostką pola.
- Pole jest równe liczbie kwadratów jednostkowych lub jego części mieszczących się całkowicie w mierzonej figurze.
Definicja ta tak naprawdę podaje tylko dolne oszacowanie pola powierzchni danej figury, którego dokładność zależy od kształtu figury.
[edytuj] Pole pod krzywą
Pole między krzywą daną równaniem y=f(x) a osią OX ograniczone prostymi x=a i x=b, a≤b jest równe całce oznaczonej
[edytuj] Pola typowych figur
- Równoległobok o bokach a i b oraz kącie α między nimi:
- pole obszaru ograniczonego przez elipsę o półosiach a i b:
- Koło o promieniu r:
- Wielokąt foremny (r – promień okręgu wpisanego w wielokąt, R – promień okręgu opisanego, a – bok wielokąta):
[edytuj] Zobacz też
| USA: Pesymistycznie o niepodległości Gruzji |
|
Na podstawie swych obserwacji w czasie wizyty w Gruzji publicysta "Washington Post" Jackson Diehl wyraża wątpliwości, czy przyszła administracja Baracka Obamy zdecyduje się na choćby polityczną konfrontację z Rosją w obronie niepodległości tego zakaukaskiego kraju.
|
| Najstarsze znalezisko z marihuaną |
|
Najstarsze znalezisko z marihuaną dowodzi, że 2700 lat temu stosowano ją w celach terapeutycznych lub wróżebnych na północno-zachodnich krańcach Chin. Pomaga też zrozumieć kluczową rolę Turfanu na szlaku wymiany między Wschodem a Zachodem.
|
| Tusk: Skłamałbym, gdybym mówił, że nie spodziewałem się wet |
|
Weto jest konstytucyjnym uprawnieniem prezydenta i skłamałbym, jeślibym mówił, że nie spodziewałem się tego - tak premier Donald Tusk komentuje fakt niepodpisania przez Lecha Kaczyńskiego kolejnych ustaw. Jego zdaniem prezydent używa weta jako "broni politycznej".
|
| Eksplozja na lotnisku w Bangkoku |
|
Jedna osoba zginęła i ponad 20 zostało rannych w wybuchu bomby na lotnisku krajowym w Bangkoku we wtorek rano czasu lokalnego - poinformował dziennik "The Nation" w wydaniu internetowym, powołując się na informacje ze szpitali.
|
| Iran zaprojektował samolot niewidoczny dla radaru |
|
Dowódca sił powietrznych Iranu obwieścił, że irańscy eksperci zaprojektowali wojskowy samolot, którego nie wykrywa radar. Następnym etapem ma być zbudowanie małego prototypu.
|